2.7 导数的应用

极值判定：

• 必要条件： \(f'(x_0)=0\)（驻点）或导数不存在
• 充分条件（一阶导数法）： \(f'\) 在 \(x_0\) 两侧异号
• 充分条件（二阶导数法）： \(f'(x_0)=0\) 且 \(f''(x_0)<0\Rightarrow\) 极大值；\(f''(x_0)>0\Rightarrow\) 极小值

凹凸性与拐点：

• \(f''(x)>0\Rightarrow\) 凹（下凸）；\(f''(x)<0\Rightarrow\) 凸（上凸）
• 拐点：\(f''(x_0)=0\) 或不存在，且 \(f''\) 在 \(x_0\) 两侧异号

3. 一元函数积分学

3.1 不定积分

定义： 若 \(F'(x)=f(x)\)，则 \(\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C\)。

3.2 基本积分公式

3.3 积分方法

第一类换元法（凑微分）：

第二类换元法： 令 \(x=\varphi(t)\)，则 \(\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,\mathrm{d}t\)

常用代换：

• \(\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t\)
• \(\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan t\)
• \(\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t\)

分部积分法：

3.4 定积分

定义： \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\)

Newton-Leibniz 公式（微积分基本定理）：

若 \(F'(x)=f(x)\)，则 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)\)

定积分性质：

• 线性性：\(\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm{d}x=\alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\beta\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\)
• 区间可加性：\(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x\)
• 保号性：若 \(f(x)\geq 0\)，则 \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\geq 0\)
• 估值定理：\(m(b-a)\leq\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\leq M(b-a)\)

积分中值定理： 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续，则 \(\exists\xi\in[a,b]\) 使

3.5 反常积分

无穷限反常积分：

瑕积分： 若 \(f(x)\) 在 \(b\) 处无界，

p-积分判别法： \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\) 当 \(p>1\) 时收敛，\(p\leq 1\) 时发散。

3.6 定积分的应用

4. 多元函数微积分

4.1 偏导数与全微分

偏导数： \(f_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\)

全微分： \(\mathrm{d}z=\dfrac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y\)

复合函数链式法则： 若 \(z=f(u,v), u=\varphi(x,y), v=\psi(x,y)\)，则

隐函数求导： 对 \(F(x,y)=0\)，\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{F_x}{F_y}\)；对 \(F(x,y,z)=0\)，\(\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z}\)。

4.2 方向导数与梯度

方向导数： \(\dfrac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\dfrac{\partial f}{\partial y}\cos\beta\)

梯度： \(\nabla f = \dfrac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\)，方向导数在梯度方向取最大值。

4.3 多元函数极值

必要条件： 若 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 有极值且偏导数存在，则 \(f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\)。

充分条件（二元函数）： 记 \(A=f_{xx},\ B=f_{xy},\ C=f_{yy}\)，则：

• \(B^2-AC<0\) 且 \(A>0\Rightarrow\) 极小值
• \(B^2-AC<0\) 且 \(A<0\Rightarrow\) 极大值
• \(B^2-AC>0\Rightarrow\) 不是极值
• \(B^2-AC=0\Rightarrow\) 不确定

Lagrange 乘数法： 求 \(f(x,y)\) 在约束 \(\varphi(x,y)=0\) 下的极值，令 \(L=f+\lambda\varphi\)，解 \(\dfrac{\partial L}{\partial x}=\dfrac{\partial L}{\partial y}=\dfrac{\partial L}{\partial \lambda}=0\)。

4.4 重积分

二重积分（直角坐标）：

二重积分（极坐标）：

三重积分（柱坐标）：

三重积分（球坐标）：

4.5 曲线积分与曲面积分

第一类曲线积分（对弧长）： \(\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s\)

第二类曲线积分（对坐标）： \(\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\)

第一类曲面积分（对面积）： \(\iint_\Sigma f(x,y,z)\,\mathrm{d}S\)

第二类曲面积分（对坐标）： \(\iint_\Sigma P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

Green 公式：

Gauss 公式（散度定理）：

Stokes 公式：

旋度与散度：

• \(\text{rot}\,\vec{A}=\nabla\times\vec{A}\)
• \(\text{div}\,\vec{A}=\nabla\cdot\vec{A}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\)

5. 无穷级数

5.1 常数项级数

收敛的必要条件： 若 \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\) 收敛，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)。

正项级数判别法：

交错级数（Leibniz 判别法）： 若 \(u_n>0\)，\(u_n\) 单调递减趋于 0，则 \(\sum(-1)^{n-1}u_n\) 收敛。

绝对收敛与条件收敛：

• \(\sum|u_n|\) 收敛 \(\Rightarrow\) \(\sum u_n\) 收敛（绝对收敛）
• \(\sum u_n\) 收敛但 \(\sum|u_n|\) 发散 \(\Rightarrow\) 条件收敛

5.2 幂级数

收敛半径求法：

幂级数性质： 在收敛域内可逐项求导、逐项积分。

5.3 傅里叶级数

傅里叶系数：

傅里叶级数：

Dirichlet 收敛定理： 若 \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上分段连续且有有限个极值点，则傅里叶级数收敛于 \(\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\)。

6. 常微分方程

6.1 一阶微分方程

可分离变量： \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)\Rightarrow\int\dfrac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d}x\)

齐次方程： \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)\)，令 \(u=\dfrac{y}{x}\) 化为可分离变量。

一阶线性： \(y'+P(x)y=Q(x)\)

Bernoulli 方程： \(y'+P(x)y=Q(x)y^n\)，令 \(z=y^{1-n}\) 化为一阶线性。

全微分方程： \(P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\)，若 \(\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\)，则存在 \(u(x,y)=C\)。

6.2 高阶线性微分方程

二阶常系数齐次： \(y''+py'+qy=0\)

特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的根与通解：

二阶常系数非齐次： \(y''+py'+qy=f(x)\)

通解 = 齐次通解 + 特解 \(y^*\)。

\(f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\) 型特解形式：\(y^*=x^k e^{\lambda x}Q_m(x)\)，其中 \(k\) 为 \(\lambda\) 作为特征根的重数。

\(f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]\) 型：\(y^*=x^k e^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x+R_m^{(2)}(x)\sin\omega x]\)，\(m=\max\{l,n\}\)。

二、线性代数（同济版）

1. 行列式

1.1 定义

n 阶行列式：

其中 \(\tau(j_1j_2\cdots j_n)\) 为排列 \(j_1j_2\cdots j_n\) 的逆序数。

1.2 行列式的性质

1.3 行列式展开定理

按行展开：

其中 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，\(M_{ij}\) 为元素 \(a_{ij}\) 的余子式。

重要公式：

• 上（下）三角行列式：\(\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\)
• 范德蒙德行列式：\(V_n=\prod_{1\leq j
• 对角行列式：\(\det(\text{diag}(d_1,d_2,\cdots,d_n))=d_1d_2\cdots d_n\)

1.4 Cramer 法则

对于线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\)，若 \(\det(A)\neq 0\)，则

其中 \(A_j\) 是将 \(A\) 的第 \(j\) 列替换为 \(\vec{b}\) 所得矩阵。

2. 矩阵

2.1 矩阵运算

乘法性质：

• \((AB)^T=B^TA^T\)
• \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)（\(A,B\) 可逆时）
• \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)

2.2 逆矩阵

定义： 若 \(AB=BA=E\)，则 \(B=A^{-1}\)。

伴随矩阵法：

其中 \(A^*=(A_{ji})\) 为伴随矩阵（\(A_{ji}\) 为 \(a_{ji}\) 的代数余子式）。

初等变换法： \((A|E)\xrightarrow{\text{行变换}}(E|A^{-1})\)

可逆的等价条件： \(A\) 可逆 \(\iff\det(A)\neq 0\iff\text{rank}(A)=n\iff A\) 可表为有限个初等矩阵之积。

2.3 初等变换与矩阵的秩

秩的性质：

• \(\text{rank}(A)=\text{rank}(A^T)\)
• \(\text{rank}(A+B)\leq\text{rank}(A)+\text{rank}(B)\)
• \(\text{rank}(AB)\leq\min\{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}\)
• \(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n\leq\text{rank}(AB)\)

2.4 分块矩阵

3. 向量与向量空间

3.1 线性相关与线性无关

定义： 向量组 \(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_m\) 线性相关 \(\iff \exists\) 不全为零的 \(k_1,k_2,\cdots,k_m\) 使 \(k_1\vec{\alpha}_1+\cdots+k_m\vec{\alpha}_m=\vec{0}\)。

重要结论：

• 向量组线性无关 \(\iff\) 齐次线性方程组 \(x_1\vec{\alpha}_1+\cdots+x_m\vec{\alpha}_m=\vec{0}\) 仅有零解
• 若向量组线性相关，则至少有一个向量可由其余向量线性表示
• \(n+1\) 个 \(n\) 维向量必线性相关

3.2 向量组的秩

定义： 向量组的极大线性无关组所含向量的个数。

向量组的秩 = 矩阵的秩。

3.3 向量空间与基

定义： 向量空间 \(V\) 对加法和数乘封闭的非空集合。

基： 向量空间 \(V\) 中线性无关且能生成 \(V\) 的向量组。

维数： \(\dim V=\) 基所含向量个数。

坐标变换公式： 若基 \((\vec{\alpha}_1,\cdots,\vec{\alpha}_n)\) 到基 \((\vec{\beta}_1,\cdots,\vec{\beta}_n)\) 的过渡矩阵为 \(P\)，即 \((\vec{\beta}_1,\cdots,\vec{\beta}_n)=(\vec{\alpha}_1,\cdots,\vec{\alpha}_n)P\)，则坐标变换为 \(\vec{y}=P^{-1}\vec{x}\)。

3.4 内积与正交性

内积： \((\vec{\alpha},\vec{\beta})=\vec{\alpha}^T\vec{\beta}=\sum a_ib_i\)

Schwarz 不等式： \(|(\vec{\alpha},\vec{\beta})|\leq\|\vec{\alpha}\|\cdot\|\vec{\beta}\|\)

正交： \((\vec{\alpha},\vec{\beta})=0\)。

Schmidt 正交化：

正交矩阵： \(Q^TQ=E\iff Q^{-1}=Q^T\iff Q\) 的列（行）向量组为标准正交基。

4. 线性方程组

4.1 齐次线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{0}\)

• 有非零解 \(\iff\text{rank}(A)
• 基础解系含 \(n-\text{rank}(A)\) 个向量
• 通解 = \(k_1\vec{\xi}_1+\cdots+k_{n-r}\vec{\xi}_{n-r}\)

4.2 非齐次线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\)

通解结构： \(\vec{x}=\vec{x}_p+k_1\vec{\xi}_1+\cdots+k_{n-r}\vec{\xi}_{n-r}\)（特解 + 齐次通解）

5. 特征值与特征向量

5.1 定义与性质

定义： \(A\vec{\xi}=\lambda\vec{\xi}\)，\(\lambda\) 为特征值，\(\vec{\xi}\neq\vec{0}\) 为对应的特征向量。

特征方程： \(\det(\lambda E-A)=0\)

重要性质：

• \(\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=\text{tr}(A)=\sum\limits_{i=1}^n a_{ii}\)
• \(\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i=\det(A)\)
• 不同特征值对应的特征向量线性无关
• \(A^k\) 的特征值为 \(\lambda^k\)；\(A^{-1}\) 的特征值为 \(1/\lambda\)（\(\lambda\neq 0\)）

5.2 矩阵对角化

相似对角化的条件： \(n\) 阶矩阵 \(A\) 可对角化 \(\iff\) \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量。

实对称矩阵必可对角化，且可正交对角化。

对角化步骤：

其中 \(P\) 的列为 \(A\) 的线性无关特征向量。

6. 二次型

6.1 定义与矩阵表示

二次型： \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j=\vec{x}^TA\vec{x}\)

其中 \(A\) 为实对称矩阵。

6.2 化二次型为标准型

正交变换法： 实对称矩阵 \(A\) 可正交对角化，令 \(\vec{x}=Q\vec{y}\)，则

配方法： 通过可逆线性变换化为标准型 \(d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2\)。

6.3 正定二次型

负定： 奇数阶顺序主子式 \(<0\)，偶数阶 \(>0\)（或 \(-A\) 正定）。

三、概率论与数理统计（浙大版）

1. 随机事件与概率

1.1 基本概念

1.2 事件运算与概率性质

加法公式： \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

减法公式： \(P(A-B)=P(A)-P(AB)\)

对立事件： \(P(\bar{A})=1-P(A)\)

1.3 条件概率

乘法公式：

1.4 全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式： 若 \(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 为 \(\Omega\) 的一个划分，\(P(B_i)>0\)，则

贝叶斯公式：

1.5 事件独立性

\(A\) 与 \(B\) 独立 \(\iff P(AB)=P(A)P(B)\iff P(A|B)=P(A)\)。

2. 随机变量及其分布

2.1 离散型随机变量

2.2 连续型随机变量

2.3 分布函数

性质： 单调不减，右连续，\(\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1\)。

2.4 随机变量函数的分布

若 \(Y=g(X)\)，\(X\) 的概率密度为 \(f_X(x)\)，\(g(x)\) 严格单调可导，则

其中 \(h(y)\) 为 \(g(x)\) 的反函数。

3. 多维随机变量

3.1 联合分布与边缘分布

联合分布函数： \(F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)\)

边缘分布（离散）： \(P(X=x_i)=\sum_j P(X=x_i,Y=y_j)\)

边缘分布（连续）： \(f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm{d}y\)

3.2 条件分布

3.3 随机变量的独立性

\(X\) 与 \(Y\) 独立 \(\iff F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\iff f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)。

3.4 随机变量函数的分布

卷积公式（和的分布）： 若 \(X,Y\) 独立，则 \(Z=X+Y\) 的概率密度为

4. 随机变量的数字特征

4.1 数学期望

离散型： \(E(X)=\sum\limits_k x_k p_k\)

连续型： \(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\mathrm{d}x\)

随机变量函数的期望： \(E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\,\mathrm{d}x\)

性质：

• \(E(C)=C\)
• \(E(aX+b)=aE(X)+b\)
• \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
• \(X,Y\) 独立 \(\Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y)\)

4.2 方差

性质：

• \(D(C)=0\)
• \(D(aX+b)=a^2D(X)\)
• \(X,Y\) 独立 \(\Rightarrow D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)

4.3 协方差与相关系数

协方差：

相关系数：

性质：

• \(|\rho_{XY}|\leq 1\)
• \(|\rho_{XY}|=1\iff Y=aX+b\ (\text{a.s.})\)
• 独立 \(\Rightarrow\) 不相关（\(\rho_{XY}=0\)），反之不成立

4.4 矩

5. 大数定律与中心极限定理

5.1 切比雪夫不等式

若 \(E(X)=\mu,\ D(X)=\sigma^2\)，则对任意 \(\varepsilon>0\)：

5.2 大数定律

5.3 中心极限定理

独立同分布中心极限定理（Lindeberg-Lévy）： 设 \(X_1,X_2,\cdots\) i.i.d.，\(E(X_i)=\mu,\ D(X_i)=\sigma^2>0\)，则

即 \(\sum_{i=1}^n X_i\approx N(n\mu,n\sigma^2)\)（\(n\) 充分大）。

棣莫弗-拉普拉斯定理： 设 \(X\sim B(n,p)\)，则

6. 数理统计基本概念

6.1 总体与样本

• 总体： 研究对象的全体，用随机变量 \(X\) 及其分布 \(F(x)\) 描述
• 样本： 从总体中抽取的 \(n\) 个个体 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，i.i.d.

6.2 统计量

6.3 三大抽样分布

6.4 正态总体抽样分布定理

设 \(X_1,\cdots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则：

• \(\bar{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\)
• \(\bar{X}\) 与 \(S^2\) 独立
• \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)
• \(\dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\)

7. 参数估计

7.1 点估计

矩估计法： 用样本矩代替总体矩。

最大似然估计（MLE）： 使似然函数 \(L(\theta)=\prod\limits_{i=1}^n f(x_i;\theta)\) 取最大值。

7.2 估计量的评价标准

7.3 区间估计

正态总体均值的置信区间（\(\sigma^2\) 已知）：

正态总体均值的置信区间（\(\sigma^2\) 未知）：

正态总体方差的置信区间（\(\mu\) 未知）：

8. 假设检验

8.1 基本概念

8.2 正态总体参数检验

8.3 两个正态总体检验

其中 \(S_w^2=\dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\)。

四、复变函数

1. 复数与复变函数

1.1 复数的表示

代数形式： \(z=x+iy\)

三角形式： \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

指数形式（欧拉公式）： \(z=re^{i\theta}\)

其中 \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)，\(\theta=\arg z\)。

欧拉公式：

由此推出：

1.2 复变函数

其中 \(z=x+iy\)，\(u,v\) 为实值函数。

2. 解析函数

2.1 复变函数的导数

2.2 柯西-黎曼条件（C-R 方程）

\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) 在区域 \(D\) 内解析的 充要条件：

且四个偏导数在 \(D\) 内连续。

2.3 解析函数的性质

• 解析函数在其解析区域内无穷次可导
• 解析函数的实部和虚部均为调和函数（满足 Laplace 方程 \(\Delta u=0\)）
• 解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍解析

2.4 初等解析函数

• \(e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\)
• \(\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)
• \(\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)
• \(\ln z=\ln|z|+i\arg z\)（多值函数）
• \(z^\alpha=e^{\alpha\ln z}\)（多值函数）

3. 复积分

3.1 柯西-古萨定理

若 \(f(z)\) 在单连通区域 \(D\) 内解析，\(C\) 为 \(D\) 内任一条闭曲线，则

3.2 柯西积分公式

若 \(f(z)\) 在闭区域 \(\bar{D}\) 上解析，\(C\) 为 \(D\) 的边界，\(z_0\in D\)，则

3.3 高阶导数公式

4. 级数展开

4.1 泰勒级数

若 \(f(z)\) 在 \(|z-z_0|

4.2 洛朗级数

若 \(f(z)\) 在圆环域 \(r<|z-z_0|

其中 \(a_n=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,\mathrm{d}z\)，\(b_n=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)(z-z_0)^{n-1}\,\mathrm{d}z\)。

5. 留数定理

5.1 孤立奇点分类

5.2 留数计算

一阶极点：

m 阶极点：

无穷远点的留数：

5.3 留数定理

若 \(f(z)\) 在闭曲线 \(C\) 内除有限个孤立奇点外解析，则

5.4 留数定理的应用——实积分计算

五、离散数学

1. 数理逻辑

1.1 命题逻辑

命题联结词：

基本等值式：

范式：

• 析取范式（DNF）： 合取式的析取
• 合取范式（CNF）： 析取式的合取
• 主析取范式/主合取范式： 包含所有变元的极小项/极大项

1.2 谓词逻辑

量词：

• 全称量词：\(\forall x\,P(x)\)
• 存在量词：\(\exists x\,P(x)\)

量词否定等值式：

量词分配律：

• \(\forall x(P(x)\land Q(x))\Leftrightarrow\forall x P(x)\land\forall x Q(x)\)
• \(\exists x(P(x)\lor Q(x))\Leftrightarrow\exists x P(x)\lor\exists x Q(x)\)

推理规则：

• 全称例示（UI）：\(\forall x P(x)\Rightarrow P(c)\)
• 全称概括（UG）：\(P(c)\Rightarrow\forall x P(x)\)（\(c\) 为任意个体）
• 存在例示（EI）：\(\exists x P(x)\Rightarrow P(c)\)（\(c\) 为特定个体）
• 存在概括（EG）：\(P(c)\Rightarrow\exists x P(x)\)

2. 集合论

2.1 集合运算

2.2 集合运算律

三集合容斥原理：

2.3 二元关系

关系运算：

• 复合：\(R\circ S=\{(a,c)\mid\exists b:\ (a,b)\in R\land(b,c)\in S\}\)
• 逆：\(R^{-1}=\{(b,a)\mid(a,b)\in R\}\)

闭包：

• 自反闭包：\(r(R)=R\cup I_A\)（\(I_A\) 为恒等关系）
• 对称闭包：\(s(R)=R\cup R^{-1}\)
• 传递闭包：\(t(R)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}R^n\)

等价关系： 自反、对称、传递。等价关系诱导集合的划分（等价类）。

偏序关系： 自反、反对称、传递。用 Hasse 图表示。

2.4 函数

3. 图论

3.1 基本概念

3.2 连通性

• 连通图： 任意两顶点间存在路径
• 连通分量： 极大连通子图
• 割点/桥： 删除后使图不连通的顶点/边

3.3 特殊图

3.4 树

性质：

• \(n\) 个顶点的树有 \(n-1\) 条边
• 树中任意两个顶点间有唯一路径
• 删除任意边则不连通，添加任意边则产生回路

生成树： 包含图所有顶点的最小连通子图。

最小生成树算法： Kruskal 算法、Prim 算法。

3.5 图的矩阵表示

邻接矩阵 \(A\)： \(a_{ij}=1\)（\(v_i,v_j\) 相邻），否则为 0。

关联矩阵 \(M\)： \(m_{ij}=1\)（顶点 \(v_i\) 与边 \(e_j\) 关联），否则为 0。

4. 代数系统（选讲）

4.1 基本概念

4.2 群

群的定义： \((G,*)\) 满足封闭性、结合律、有单位元、每个元素有逆元。

子群： \(H\subseteq G\) 且 \(H\) 对 \(*\) 构成群。

Lagrange 定理： 若 \(H\) 是有限群 \(G\) 的子群，则 \(|H|\) 整除 \(|G|\)。

循环群： 存在生成元 \(a\) 使 \(G=\{a^n\mid n\in\mathbb{Z}\}\)。

同态与同构：

• 同态：\(f(a*b)=f(a)\circ f(b)\)
• 同构：双射的同态

六、数学分析

数学分析是高等数学的理论基础，以 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 语言严格建立极限理论体系。核心教材参考华东师大版、北大版。

1. 实数基本定理

2. 函数极限的严格理论

Heine 归结原理： \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\iff\) 对任意 \(x_n\to x_0\)（\(x_n\neq x_0\)），有 \(f(x_n)\to A\)。

Cauchy 收敛准则（函数）： \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 存在 \(\iff\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ 0<|x'-x_0|<\delta,\ 0<|x''-x_0|<\delta\implies|f(x')-f(x'')|<\varepsilon\)。

3. 连续性与一致连续

一致连续： \(\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x',x''\in I,\ |x'-x''|<\delta\implies|f(x')-f(x'')|<\varepsilon\)。

Cantor 定理： 闭区间上的连续函数必一致连续。

4. 微分学（严格理论）

Rolle 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理（见高等数学部分，数学分析中需严格证明）。

Taylor 公式（带 Lagrange 余项/积分余项）：

5. 积分学（严格理论）

5.1 Riemann 积分

可积条件： \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积 \(\iff\) \(f\) 有界且间断点集为零测集。

Darboux 和： 上和 \(S(P)=\sum M_i\Delta x_i\)，下和 \(s(P)=\sum m_i\Delta x_i\)。

可积准则： \(\inf_P S(P)=\sup_P s(P)\)。

5.2 含参变量积分

连续性： 若 \(f(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 上连续，则 \(I(y)\) 在 \([c,d]\) 上连续。

可微性： 若 \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) 连续，则

6. 多元函数微积分

6.1 隐函数定理

若 \(F(x_0,y_0)=0\)，\(F_y(x_0,y_0)\neq 0\)，且 \(F\) 在 \((x_0,y_0)\) 的邻域内连续可微，则在 \((x_0,y_0)\) 附近存在唯一的隐函数 \(y=f(x)\)，且

6.2 反函数定理

若 \(\det\left(\dfrac{\partial(F_1,\cdots,F_n)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}\right)\neq 0\)，则存在局部反函数。

6.3 条件极值（Lagrange 乘数法）

求 \(f(x_1,\cdots,x_n)\) 在约束 \(\varphi_j(x_1,\cdots,x_n)=0\ (j=1,\cdots,m)\) 下的极值，令

6.4 重积分换元

其中 Jacobian 行列式

7. 函数项级数

7.1 一致收敛

定义： \(\sum u_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛于 \(S(x)\iff\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n>N,\ \forall x\in I:\ |S_n(x)-S(x)|<\varepsilon\)。

Weierstrass M-判别法： 若 \(|u_n(x)|\leq M_n\) 且 \(\sum M_n\) 收敛，则 \(\sum u_n(x)\) 一致收敛。

7.2 一致收敛级数的分析性质

七、实变函数与泛函分析（选讲）

以下内容通常为数学专业本科高年级课程，参考教材：程其襄等《实变函数与泛函分析基础》。

1. 实变函数（测度论与 Lebesgue 积分）

1.1 集合与点集

1.2 Lebesgue 测度

外测度：

其中 \(|I_k|\) 为区间 \(I_k\) 的长度。

Lebesgue 可测集： 若对任意集合 \(A\)，有

则称 \(E\) 为 Lebesgue 可测集。

测度性质：

• 非负性：\(m(E)\geq 0\)，\(m(\varnothing)=0\)
• 可列可加性：\(E_i\) 两两不交 \(\Rightarrow m\left(\bigcup E_i\right)=\sum m(E_i)\)
• 平移不变性：\(m(E+a)=m(E)\)

1.3 可测函数

定义： \(f:E\to\mathbb{R}\) 为可测函数 \(\iff\forall a\in\mathbb{R},\ \{x\in E\mid f(x)>a\}\) 为可测集。

性质：

• 可测函数的线性组合仍可测
• 可测函数的极限函数仍可测
• 简单函数在可测函数集中稠密

1.4 Lebesgue 积分

定义：

• 简单函数：\(\int_E \varphi=\sum c_i m(E_i)\)
• 非负可测函数：\(\int_E f=\sup\limits_{0\leq\varphi\leq f}\int_E\varphi\)
• 一般可测函数：\(\int_E f=\int_E f^+-\int_E f^-\)（至少一个有限时）

Lebesgue 控制收敛定理：

若 \(f_n\to f\) a.e.，且 \(|f_n(x)|\leq g(x)\)，\(g\) 可积，则

Fatou 引理：

单调收敛定理：

若 \(0\leq f_1\leq f_2\leq\cdots\)，\(f_n\to f\)，则

2. 泛函分析

2.1 度量空间

定义： \((X,d)\) 为度量空间，其中 \(d:X\times X\to\mathbb{R}\) 满足：

1. \(d(x,y)\geq 0\)，\(d(x,y)=0\iff x=y\)
2. \(d(x,y)=d(y,x)\)
3. \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\)（三角不等式）

完备度量空间： 每个 Cauchy 列都收敛。

压缩映射原理（Banach 不动点定理）：

若 \((X,d)\) 完备，\(T:X\to X\) 满足 \(d(Tx,Ty)\leq\alpha d(x,y)\)（\(0<\alpha<1\)），则 \(T\) 有唯一不动点。

2.2 线性赋范空间与 Banach 空间

范数： \(\|\cdot\|:X\to\mathbb{R}\) 满足：

1. \(\|x\|\geq 0\)，\(\|x\|=0\iff x=0\)
2. \(\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|\)
3. \(\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|\)

Banach 空间： 完备的线性赋范空间。

重要 Banach 空间：

• \(\ell^p=\left\{(x_n)\mid\sum|x_n|^p<\infty\right\}\)，\(\|x\|_p=\left(\sum|x_n|^p\right)^{1/p}\)
• \(L^p(E)=\left\{f\mid\int_E|f|^p<\infty\right\}\)，\(\|f\|_p=\left(\int_E|f|^p\right)^{1/p}\)
• \(C[a,b]\) 以 \(\|f\|_\infty=\max\limits_{x\in[a,b]}|f(x)|\) 为范数

2.3 内积空间与 Hilbert 空间

内积： \((\cdot,\cdot):H\times H\to\mathbb{C}\)（或 \(\mathbb{R}\)）满足：

1. \((x,x)\geq 0\)，\((x,x)=0\iff x=0\)
2. \((x,y)=\overline{(y,x)}\)
3. \((\alpha x+\beta y,z)=\alpha(x,z)+\beta(y,z)\)

Schwarz 不等式：

平行四边形法则：

Hilbert 空间： 完备的内积空间。

2.4 正交性与投影定理

正交： \((x,y)=0\)，记为 \(x\perp y\)。

正交系： \(\{e_n\}\) 满足 \((e_i,e_j)=\delta_{ij}\)。

投影定理： \(M\) 为 Hilbert 空间 \(H\) 的闭子空间，则对任意 \(x\in H\)，存在唯一的分解

其中 \(y\) 为 \(x\) 在 \(M\) 上的正交投影，且 \(\|x-y\|=\inf\limits_{m\in M}\|x-m\|\)。

最佳逼近： 在闭子空间 \(M\) 中，投影 \(Px\) 是到 \(x\) 距离最近的元素。

2.5 线性算子与泛函

有界线性算子： \(T:X\to Y\) 线性，且 \(\exists M>0\) 使 \(\|Tx\|\leq M\|x\|\)。

算子范数：

线性泛函： \(f:X\to\mathbb{K}\)（\(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)）。

2.6 Banach 空间基本定理

2.7 Riesz 表示定理

Hilbert 空间上的 Riesz 表示定理： \(H\) 为 Hilbert 空间，\(f\) 为 \(H\) 上的有界线性泛函，则存在唯一的 \(y\in H\)，使

且 \(\|f\|=\|y\|\)。

附录：常用数学符号表

说明： 本文档基于中国大学主流本科教材（同济大学《高等数学》（第 7 版）、同济大学《工程数学·线性代数》（第 6 版）、浙江大学盛骤等《概率论与数理统计》（第 5 版））整理而成。公式与定理表述力求准确，如有疏漏请以教材原文为准。