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几何专题

本专题系统整理从小学到大学的几何知识，包括平面几何、解析几何、立体几何、向量几何与变换几何，补充各阶段教材中遗漏的核心定理与公式。

一、平面几何基础

1. 线段与角

1.1 线段

定义：直线上两点及其之间的部分。

中点公式：若 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，则中点 \(M\) 为：

\[M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

定比分点公式：点 \(P\) 分线段 \(AB\) 的比为 \(\lambda = \frac{AP}{PB}\)，则：

\[P = \left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)\]

1.2 角

角的分类：

类型范围图示特征
锐角\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)小于直角
直角\(\theta = 90^\circ\)两条边垂直
钝角\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)大于直角小于平角
平角\(\theta = 180^\circ\)两条边共线反向
周角\(\theta = 360^\circ\)旋转一周

角的关系：

平行线性质：两直线平行 \(\iff\) 同位角相等 \(\iff\) 内错角相等 \(\iff\) 同旁内角互补。

2. 三角形

2.1 基本性质

2.2 三角形的四心

心定义性质坐标公式
重心 G三条中线的交点分中线为 2:1；到三顶点距离平方和最小\(G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\)
垂心 H三条高线的交点锐角三角形在内部，钝角三角形在外部无统一简单公式
外心 O三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等（外接圆半径 R）解方程组求
内心 I三条角平分线的交点到三边距离相等（内切圆半径 r）\(I = \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\)

欧拉线：三角形的外心 O、重心 G、垂心 H 三点共线，且 \(OG : GH = 1 : 2\)。

2.3 面积公式汇总

公式名称公式适用条件
基本公式\(S = \frac{1}{2}ah\)已知底和高
两边夹角\(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)已知两边及夹角
海伦公式\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)，\(p = \frac{a+b+c}{2}\)已知三边
外接圆半径\(S = \frac{abc}{4R}\)已知三边和外接圆半径
内切圆半径\(S = pr = \frac{a+b+c}{2} \cdot r\)已知三边和内切圆半径
坐标公式\(S = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|\)已知三顶点坐标
向量叉积\(S = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|\)已知向量

2.4 全等三角形判定

判定方法条件缩写
三边对应相等\(AB = A'B'\)，\(BC = B'C'\)，\(AC = A'C'\)SSS
两边及其夹角对应相等\(AB = A'B'\)，\(\angle B = \angle B'\)，\(BC = B'C'\)SAS
两角及其夹边对应相等\(\angle A = \angle A'\)，\(AB = A'B'\)，\(\angle B = \angle B'\)ASA
两角及其中一角的对边对应相等\(\angle A = \angle A'\)，\(\angle B = \angle B'\)，\(BC = B'C'\)AAS
斜边和一条直角边对应相等仅适用于直角三角形HL

2.5 相似三角形判定

判定方法条件
AA两角对应相等
SAS 相似两边对应成比例且夹角相等
SSS 相似三边对应成比例

相似比性质：相似比为 \(k\)，则周长比为 \(k\)，面积比为 \(k^2\)，对应线段（高、中线、角平分线）比为 \(k\)。

2.6 重要定理

角平分线定理：在 \(\triangle ABC\) 中，\(AD\) 平分 \(\angle A\)，则：

\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\]

中线定理（阿波罗尼奥斯定理）：在 \(\triangle ABC\) 中，\(M\) 为 \(BC\) 中点，则：

\[AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)\]

Stewart 定理：在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 在 \(BC\) 上，\(BD = m\)，\(DC = n\)，\(AD = d\)，则：

\[b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\]

Menelaus 定理：直线 \(DEF\) 截 \(\triangle ABC\) 三边（或其延长线）于 \(D, E, F\)，则：

\[\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1\]

Ceva 定理：\(AD, BE, CF\) 三线共点 \(\iff\)：

\[\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1\]

3. 四边形

3.1 四边形分类与判定

类型判定条件面积公式
平行四边形两组对边分别平行（或相等）\(S = ah = ab\sin\theta\)
矩形有一个角是直角的平行四边形\(S = ab\)
菱形邻边相等的平行四边形\(S = ah = \frac{1}{2}d_1 d_2\)
正方形既是矩形又是菱形\(S = a^2 = \frac{1}{2}d^2\)
梯形只有一组对边平行\(S = \frac{(a+b)h}{2}\)
等腰梯形两腰相等的梯形同梯形
直角梯形有一个角是直角的梯形同梯形

3.2 任意四边形面积

对角线公式：若对角线长为 \(d_1, d_2\)，夹角为 \(\theta\)，则：

\[S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta\]

Bretschneider 公式（四边形边长 \(a,b,c,d\)，半周长 \(s = \frac{a+b+c+d}{2}\)，对角和为 \(\theta\)）：

\[S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2\frac{\theta}{2}}\]

Brahmagupta 公式（圆内接四边形，\(\theta = 180^\circ\)）：

\[S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\]

4. 圆

4.1 基本公式

量公式
周长\(C = 2\pi r = \pi d\)
面积\(S = \pi r^2\)
弧长\(l = \frac{n^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi r = r\theta\)（\(\theta\) 为弧度）
扇形面积\(S = \frac{n^\circ}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2}r^2\theta\)
弓形面积\(S = S_{\text{扇形}} - S_{\text{三角形}} = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)\)
圆环面积\(S = \pi(R^2 - r^2)\)

4.2 圆的性质与定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。

圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

\[\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB\]

推论：

切线性质：

切割线定理：从圆外一点 \(P\) 引切线 \(PT\) 和割线 \(PAB\)，则：

\[PT^2 = PA \cdot PB\]

相交弦定理：圆内两弦 \(AB, CD\) 交于点 \(P\)，则：

\[PA \cdot PB = PC \cdot PD\]

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

4.3 圆与圆的位置关系

位置关系圆心距 \(d\) 与半径 \(R, r\) 的关系公切线条数
外离\(d > R + r\)4 条
外切\(d = R + r\)3 条
相交\(|R - r| < d < R + r\)2 条
内切\(d = |R - r|\)1 条
内含\(d < |R - r|\)0 条

二、解析几何

1. 平面直角坐标系

1.1 距离公式

两点间距离：

\[|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

点到直线距离：点 \((x_0, y_0)\) 到直线 \(Ax + By + C = 0\) 的距离：

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

平行线间距离：两平行线 \(Ax + By + C_1 = 0\) 与 \(Ax + By + C_2 = 0\) 的距离：

\[d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

1.2 直线的方程

形式方程适用条件
斜截式\(y = kx + b\)斜率存在
点斜式\(y - y_0 = k(x - x_0)\)斜率存在，过点 \((x_0, y_0)\)
两点式\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)过两点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)
一般式\(Ax + By + C = 0\)任意直线
截距式\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)在两轴上都有截距

斜率公式：过两点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2)\) 的直线斜率：

\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

两直线关系：

2. 圆的方程

形式方程
标准方程\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)，圆心 \((a, b)\)，半径 \(r\)
一般方程\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)，圆心 \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\)，\(r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\)
参数方程\(\begin{cases} x = a + r\cos\theta \\ y = b + r\sin\theta \end{cases}\)

直线与圆的位置关系：比较圆心到直线的距离 \(d\) 与半径 \(r\)：

3. 圆锥曲线

3.1 椭圆

定义：到两定点（焦点）距离之和为常数 \(2a\) 的点的轨迹。

标准方程：

焦点位置方程
x 轴\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）
y 轴\(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）

关键参数：

参数方程：\(\begin{cases} x = a\cos\theta \\ y = b\sin\theta \end{cases}\)

面积：\(S = \pi ab\)

3.2 双曲线

定义：到两定点（焦点）距离之差的绝对值为常数 \(2a\) 的点的轨迹。

标准方程：

焦点位置方程
x 轴\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
y 轴\(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\)

关键参数：

3.3 抛物线

定义：到定点（焦点）和定直线（准线）距离相等的点的轨迹。

开口方向标准方程焦点准线
向右\(y^2 = 2px\)\(\left(\frac{p}{2}, 0\right)\)\(x = -\frac{p}{2}\)
向左\(y^2 = -2px\)\(\left(-\frac{p}{2}, 0\right)\)\(x = \frac{p}{2}\)
向上\(x^2 = 2py\)\(\left(0, \frac{p}{2}\right)\)\(y = -\frac{p}{2}\)
向下\(x^2 = -2py\)\(\left(0, -\frac{p}{2}\right)\)\(y = \frac{p}{2}\)

焦半径：抛物线 \(y^2 = 2px\) 上点 \(P(x_0, y_0)\) 到焦点的距离为 \(|PF| = x_0 + \frac{p}{2}\)。

焦点弦：过焦点的弦长 \(|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{2p}{\sin^2\theta}\)（\(\theta\) 为弦的倾斜角）。

3.4 圆锥曲线统一性质

统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数 \(e\)（离心率）：

极坐标方程（以焦点为极点）：

\[\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}\]

其中 \(p\) 为焦准距（焦点到准线的距离）。

3.5 圆锥曲线的切线与法线

椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的切线：

\[\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1\]

双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的切线：

\[\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1\]

抛物线 \(y^2 = 2px\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的切线：

\[y_0 y = p(x + x_0)\]

三、立体几何

1. 空间直线与平面

1.1 平面的基本性质

1.2 空间位置关系

关系判定条件
线面平行线平行于面内一条直线 \(\implies\) 线面平行
线面垂直线垂直于面内两条相交直线 \(\implies\) 线面垂直
面面平行一个面内两条相交直线分别平行于另一个面 \(\implies\) 面面平行
面面垂直一个面经过另一个面的垂线 \(\implies\) 面面垂直

1.3 空间角

类型定义范围
异面直线所成角过空间任一点作两直线的平行线，所成锐角（或直角）\((0, 90^\circ]\)
线面角直线与它在该平面内的射影所成的角\([0, 90^\circ]\)
二面角从一条直线出发的两个半平面所成的角\([0, 180^\circ]\)

2. 空间向量

2.1 基本运算

坐标表示：\(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\)，\(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)

运算公式
加法\(\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)\)
数乘\(\lambda\vec{a} = (\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3)\)
数量积\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)
向量积\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\)
模\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
夹角\(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)

2.2 用向量解决立体几何问题

线面平行：\(\vec{a} \parallel \alpha \iff \vec{a} \cdot \vec{n} = 0\)（\(\vec{n}\) 为平面法向量）

线面垂直：\(\vec{a} \perp \alpha \iff \vec{a} \parallel \vec{n}\)

面面平行：\(\alpha \parallel \beta \iff \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2\)

面面垂直：\(\alpha \perp \beta \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0\)

线面角：设直线方向向量 \(\vec{a}\)，平面法向量 \(\vec{n}\)，则：

\[\sin\theta = |\cos\langle\vec{a}, \vec{n}\rangle| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}\]

二面角：设两平面法向量 \(\vec{n}_1, \vec{n}_2\)，则二面角 \(\theta\) 满足：

\[\cos\theta = \pm\frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}\]

（正负号根据实际图形判断）

2.3 平面的方程

形式方程
一般式\(Ax + By + Cz + D = 0\)，法向量 \(\vec{n} = (A, B, C)\)
点法式\(A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0\)
三点式\(\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0\)
截距式\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

点到平面距离：点 \((x_0, y_0, z_0)\) 到平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\) 的距离：

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

2.4 空间直线的方程

形式方程
参数式\(\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\)，方向向量 \(\vec{s} = (a,b,c)\)
对称式\(\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}\)
一般式两个平面方程的联立：\(\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}\)

3. 空间几何体

3.1 柱体

类型侧面积表面积体积
棱柱\(S_{\text{侧}} = Ch\)（\(C\) 为底面周长）\(S = S_{\text{侧}} + 2S_{\text{底}}\)\(V = S_{\text{底}} \cdot h\)
圆柱\(S_{\text{侧}} = 2\pi rh\)\(S = 2\pi r(r + h)\)\(V = \pi r^2 h\)

3.2 锥体

类型侧面积表面积体积
棱锥各侧面面积之和\(S = S_{\text{侧}} + S_{\text{底}}\)\(V = \frac{1}{3}S_{\text{底}} \cdot h\)
圆锥\(S_{\text{侧}} = \pi rl\)（\(l\) 为母线长）\(S = \pi r(r + l)\)\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)

3.3 台体

类型侧面积体积
棱台各侧面梯形面积之和\(V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\)
圆台\(S_{\text{侧}} = \pi(r_1+r_2)l\)\(V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)\)

3.4 球

量公式
表面积\(S = 4\pi R^2\)
体积\(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)
球冠面积\(S = 2\pi Rh\)（\(h\) 为球冠高）
球缺体积\(V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)\)
球台体积\(V = \frac{\pi h}{6}(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)\)

3.5 球的截面性质

球心到截面的距离为 \(d\)，球半径为 \(R\)，截面圆半径为 \(r\)，则：

\[r = \sqrt{R^2 - d^2}\]

3.6 外接球与内切球

几何体外接球半径 \(R\)内切球半径 \(r\)
长方体\(R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)无一般内切球
正方体\(R = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)\(r = \frac{a}{2}\)
正四面体\(R = \frac{\sqrt{6}}{4}a\)\(r = \frac{\sqrt{6}}{12}a\)
正三棱锥视具体尺寸计算\(r = \frac{3V}{S_{\text{表}}}\)

通用内切球半径公式（适用于存在内切球的多面体）：

\[r = \frac{3V}{S_{\text{表面积}}}\]

四、变换几何

1. 平移变换

定义：将图形沿某个方向移动一定距离。

坐标变换：平移向量 \(\vec{v} = (h, k)\)，则：

\[(x, y) \mapsto (x + h, y + k)\]

性质：保持图形的形状、大小和方向不变（等距变换）。

2. 旋转变换

定义：将图形绕某点旋转一定角度。

坐标变换：绕原点旋转角度 \(\theta\)（逆时针为正），则：

\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]

即：

\[\begin{cases} x' = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta \end{cases}\]

性质：保持形状、大小不变，改变方向（等距变换）。

3. 对称变换

3.1 轴对称

关于 x 轴对称：\((x, y) \mapsto (x, -y)\)

关于 y 轴对称：\((x, y) \mapsto (-x, y)\)

关于原点对称：\((x, y) \mapsto (-x, -y)\)

关于直线 \(y = x\) 对称：\((x, y) \mapsto (y, x)\)

关于直线 \(y = -x\) 对称：\((x, y) \mapsto (-y, -x)\)

3.2 中心对称

关于点 \((a, b)\) 对称：\((x, y) \mapsto (2a - x, 2b - y)\)

4. 位似变换（缩放）

定义：以定点为中心，按比例因子缩放。

坐标变换：以原点为中心，比例因子为 \(k\)，则：

\[(x, y) \mapsto (kx, ky)\]

性质：

5. 剪切变换

水平剪切：\(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)

垂直剪切：\(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)

五、几何不等式

1. 三角形不等式

三角不等式：\(|a - b| < c < a + b\)

等周不等式：周长固定时，正三角形面积最大。

Weitzenbock 不等式：对任意三角形，

\[a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3} \cdot S\]

等号成立当且仅当三角形为正三角形。

Erdos-Mordell 不等式：设 \(P\) 为 \(\triangle ABC\) 内一点，\(P\) 到三边距离为 \(d_a, d_b, d_c\)，到三顶点距离为 \(R_a, R_b, R_c\)，则：

\[R_a + R_b + R_c \geq 2(d_a + d_b + d_c)\]

2. 等周定理

在所有周长相等的平面封闭曲线中，圆的面积最大：

\[S \leq \frac{L^2}{4\pi}\]

等号成立当且仅当曲线为圆。

六、几何作图

1. 基本作图（尺规作图）

2. 三角形作图

已知条件作法要点
SSS（三边）先画一边，以两端为圆心画弧交于第三点
SAS（两边夹角）先画一角，在两边上截取已知长度
ASA（两角夹边）先画一边，在两端作已知角
AAS（两角一对边）先求第三角，化为 ASA
HL（直角三角形斜边直角边）先画直角，截取直角边，以另一端为圆心画弧

3. 著名作图问题

三大不可能作图问题（已证明仅用尺规无法完成）：

附录：几何公式速查表

平面图形面积

图形面积公式
三角形\(\frac{1}{2}ah\)，\(\frac{1}{2}ab\sin C\)，\(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
平行四边形\(ah\)，\(ab\sin\theta\)，\(\frac{1}{2}d_1 d_2\sin\theta\)
矩形\(ab\)
菱形\(\frac{1}{2}d_1 d_2\)
正方形\(a^2\)
梯形\(\frac{(a+b)h}{2}\)
圆\(\pi r^2\)
扇形\(\frac{1}{2}lr = \frac{1}{2}r^2\theta\)
弓形\(\frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)\)
椭圆\(\pi ab\)

空间几何体体积

几何体体积公式
柱体\(V = S_{\text{底}} \cdot h\)
锥体\(V = \frac{1}{3}S_{\text{底}} \cdot h\)
台体\(V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\)
球\(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)
球缺\(V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)\)

空间几何体表面积

几何体表面积公式
圆柱\(2\pi r(r + h)\)
圆锥\(\pi r(r + l)\)
圆台\(\pi(r_1^2+r_2^2+r_1l+r_2l)\)
球\(4\pi R^2\)
球冠\(2\pi Rh\)